幂指函数求导 、幂指函数求导的两种方法

幂指函数求导公式

幂函数y=x^a和指数函数y=a^x的求导公式分别为：y'=a*x^(a-1)，y'=a^x*lna。

【扩展资料】

当a的值大于1时，指数函数的增长速率是要比幂函数的增长速率要高的。如下图所示，比如当a=2时，幂函数是y=x^2，指数函数是y=2^x，分别对其求导，可以分别得到y=2x和y=2^x*ln2。指数函数的增长实际上是一种激增模式，在实际实例中，比如病毒的扩散速率，就跟指数函数非常之像；再比如人口的增长模式，也近乎于一种指数函数。而对于幂函数，其增长速率相对一般。

幂指函数如何求导?

幂指函数的求导方法，即求y=f(x)^g(x)类型函数的导数。

1、x^y=y^x方程类型

主要步骤是，通过公式a^b=e^(blna)变形后再对方程两边同时求导。

2、z^x=y^z方程类型

主要步骤是，通过公式a^b=e^(blna)变形后再对方程两边同时对x求导，把y看做成常数。

3、y=x^(1/y)类型

主要步骤是方程两边取对数后，再对方程两边求导得到。

4、y=(x/x+1)^x+x^(x/x+1)

需要a^b=e^(blna)的公式变换，公式变换后，再对方程两边求导。

扩展资料：

幂指函数既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。

幂指函数求导方法

1、指数求导法

由于幂指函数定义中f(x)0，因此可以利用对数的性质将函数改写。  ，再对指数函数进行求导。

2、对数求导法

这种方法是在两边取对数，再利用隐函数的求导法则求出y‘。

幂指函数的求导方法

下面给出一般幂指函数的求导方法。为书写方便，把f(x)和g(x)分别用f和g代替，即 由于幂指函数定义中f(x)0，因此可以利用对数的性质将函数改写。 ，再对指数函数进行求导。

这种方法是在两边取对数，再利用隐函数的求导法则求出y‘。

根据一元与多元函数复合的求导法则， 的导数为

微积分中复合函数中幂指函数的求导方法请举例讲解

幂指函数一般采用对数求导法,如

y = (1+cosx)^(1/x),

是幂指函数,利用对数求导法：取对数,得

　ln|y| = (1/x)ln(1+cosx),

求导,得

　y'/y = [x(-sinx)/(1+cosx) - ln(1+cosx)]/x^2

于是

　y' = …….

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