近世代数理论基础10：变换群·置换群
设X是非空集合,从集合X到X的所有双射所成的集合记为 , 中的元为X上的变换,若X为有限集合,则称为置换
易证 在映射合成的意义下构成群,单位元为恒等映射 ,逆元为相应的逆映射, 的任一子群称为变换群,若X为有限集合,则称为置换群
若 ,则记 ,称为n阶对称群
若X为有限集,令 , ,若 ,其中 是 的一个排列,则可把置换 记作
故 中有 个元
设置换 满足：
1.
2. 保持其他元不变,即 ,有
则称 为循环置换,记作 ,其中r称为循环置换的长度
例：在 中,令 , , , , ,故 , , , , ,故
注：循环置换的表示不是唯一的
设 为循环置换,则
在 中, 是恒等置换,即群的单位元
设 是两个循环置换,若集合 和 的交集为空集,则称置换 和 相互独立或不相交
引理：相互独立的循环置换可交换
证明：
定理：任意置换 可唯一地表示成相互独立的循环置换的乘积
证明：
例：设 ,则
例：将 写成互不相交的循环置换的乘积
解：
定义：长为2的循环置换称为对换
定理：任一置换可表成若干个对换的乘积
证明：
若置换 可表成偶数(奇数)个对换的乘积,则称 是偶(奇)置换
注： 是偶(奇)置换 是偶(奇)排列
设 , 为对换
由映射的乘法
两个偶置换的乘积是偶置换,偶置换的逆变换仍是偶置换,故 中所有偶置换作成 的子群,称为n次交错群,记作
注：
例：
1.三次交错群 包含3个元
2.设 , ,则
证：
定义：设 , 是两个群,若 ,满足 ,则称f为G到 的一个同态映射
注：
1.设f为群G到 的同态映射,则G在 中的像为同态像
2.若f为满射,则称G与 同态,记作
3.若f为一一映射,则称f是从G到 的同构映射,称 与 同构,记作
4.群的结构由它的乘法完全确定,故同构的群本质上没有区别
5.同态映射是保持乘法的映射,即若 是同态映射指 ,有
例：
1.设 , ,定义映射f：
显然f为满射,故f是从 到 上的满同态,且不是单同态
2.设 ,乘法定义为矩阵的乘法, 为全体非零实数的集合,乘法定义为实数的乘法,定义映射f：
易证,f是满同态,且不是单同态
定理：任一群与一个变换群同构
证明：
注：定理表明,一个群无论形式如何,总可看成一个变换群
推论：任一有限群与一置换群同构
对称群，置换群，变换群的区别？主要就有是对于集合限或无限时
一、主体不同
1、对称群：含置换群为子类的一类具体的有限群。
2、置换群：有限集合Ω上的一些置换组成的集合，在置换的乘法下所组成的群，称为置换群。
3、变换群：由变换构成的群。
二、表示不同
1、对称群：集合X上的所有置换构成的族记为S(x)，S(x)关于映射的复合运算构成了一个群，当X是有限集时，设X中的元素个数为n，则称群S(x)为n次对称群。
2、置换群：每个有限的抽象群都与一个置换群同构，也就是说，所有的有限群都可以用它来表示。
3、变换群：集合内任二变换之积仍属于这集合；集合内任一变换的逆变换仍属于这集合。
三、特点不同
1、对称群：G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b。
2、置换群：一类具体的有限群。有限集合到自身的映射。
3、变换群：对于G中的任意三个元素a、b、c，恒有(a○b)○c=a○(b○c)；存在单位元e∈G，使得对于G中的任意元素a，都有e○a=a。
参考资料来源：百度百科-变换群
参考资料来源：百度百科-置换群
参考资料来源：百度百科-对称群
置换群的阶怎么求
置换群的阶求法：上下颠倒算，(327)(26)(14)的逆：(273)(62)(41)。
置换数组就是a[i]=a[tans[i]]类的转移。
它是满足k次幂并且一定条件下可以求逆的。
用置换的性质，先找出所有的循环，然后循环阶数的lcm就是答案了。
群是一个集合G，连同一个运算，它结合任何两个元素a和b而形成另一个元素，记为ab。
是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。
简介
一类具体的有限群。有限集合到自身的一一映射称为一个置换。有限集合Ω上的一些置换组成的集合，在置换的乘法下所组成的群，称为置换群。此群的阶是有限的.研究置换群的性质和构造的理论称为置换群论。凯莱(C***ley，A.)证明：任何一个有限群都同构于一个置换群。
置换群的逆怎么算,比如(327)(26)(14)的逆怎么算？
上下颠倒算，(327)(26)(14)的逆：(273)(62)(41)。
置换数组就是a[i]=a[tans[i]]类的转移。
它是满足k次幂并且一定条件下可以求逆的。
用置换的性质，先找出所有的循环，然后循环阶数的lcm就是答案了。
群是一个集合G，连同一个运算，它结合任何两个元素a和b而形成另一个元素，记为ab。
是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。
n元对称群的任意一个子群，都叫做一个n元置换群，简称置换群。
置换群是最早研究的一类群，是十分重要的群，每个有限的抽象群都与一个置换群同构，也就是说，所有的有限群都可以用它来表示。
由有限集合各元素的置换所构成的群，它是一种重要的有限群。
每个代数方程，都有由它的根的置换所形成的置换群存在;伽罗华利用置换群的性质，给出了方程可用根式求解的充要条件。
由n个元素的集合中各元素的全部置换所构成的群，称为n阶对称群。讨论正n边形绕中心的对称，就得到一个对称群。
置换群的介绍就聊到这里吧，感谢你花时间阅读本站内容，更多关于置换群的阶数、置换群的信息别忘了在本站进行查找喔。